Az alábbiak a következő mű
részletének (106. oldal) feldolgozását hivatottak segíteni: M. R. Sainsbury: Filozófiai
logika. = A. C. Grayling
(Szerk.): Filozófiai kalauz.
Budapest, Akadémiai, 1997. 73-139. Frissítve:
2006. 05. 23. AZ
AZONOSSÁG SZÜKSÉGSZERŰSÉGÉNEK FORMÁLIS BIZONYÍTÁSA Kripke és mások úgy vélik, az azonosság szükségszerűsége formálisan is bizonyítható. (1) Induljunk ki Leibniz törvényének egy megfogalmazásából! "x"y{[(x=y) & Fx] É Fy} Alkalmazzuk erre az áthelyezési törvényt! (p & q) É r Û p É (q É r) "x"y{(x=y) É (Fx É Fy)} Ám Leibniz törvényét felírhatjuk más formában is: "x"y{[(x=y) & Fy] É Fx} Erre is alkalmazhatjuk az áthelyezési törvényt: "x"y{(x=y) É (Fy É Fx)} Látható, hogy a levezetett tételekben a kvantorok hatókörében ugyanaz az előtag. Más szóval az x=y azonosságból két „dolog is következik” (Az x=y igazsága esetén két másik állításnak is igaznak kell lennie). Ezt így fejezhetjük ki: "x"y{(x=y) É [(Fx É Fy) & (Fy É Fx)]} A kondicionális utótagja átírható bikondicionálisra. (p É q) & (q É p) Û p º q "x"y{(x=y) É (Fx º Fy)} Ezzel megkaptuk a jegyzet (1) formuláját. (A kondicionálist
és a bikondicionálist a jegyzetben más konstans jelöli.) F itt tetszőleges tulajdonság lehet. (2) Azt a törvényt, hogy minden dolog azonos önmagával, így fejezhetjük ki: "x(x=x) Nyilvánvaló, hogy nem kontingens igazság az, hogy egy dolog azonos önmagával, hanem szükségszerű (a logika egyik alaptörvénye). A képletet ezzel az információval is kiegészíthetjük. (A szükségszerűség jele: □) "x □(x=x) (3) Tekintsük □(x=…) -t egy egyargumentumú predikátumnak, és nevezzük el F-nek! Ekkor: F(x) Û □(x=(x)) Az (1) levezetés eredményében helyettesítsük F helyére ezt a predikátumot! "x"y{(x=y) É [□(x=x) º □(x=y)]} Ez a formula igaz, mert a Leibniz törvényéből és az
önazonosság igaz törvényéből vezettük le helyes logikai műveletekkel. Úgy is
mondhatjuk, hogy azokból mint premisszákból adódó
konklúzió. (4) Vegyük észre, hogy a bikondicionális első tagja nem más, mint az önazonosság törvénye, ami igaz! "x"y{(x=y) É [i º □(x=y)]} Ezért az egész bikondicionális a második tagra egyszerűsíthető. Az eljárás bizonyítása értéktáblázattal:
"x"y{(x=y) É □(x=y)} Kiolvasás: Bármely két dologra igaz, hogy ha azonosak egymással, akkor szükségszerűen azonosak. (Egy igaz azonosság szükségszerűen igaz.) QED Ez a tétel konklúzióként adódik a (2)-ből és a (3)-ból mint premisszákból. A jegyzet három számozott sorából és egy konklúzióból álló
formális levezetése tehát tartalmaz egy kétpremisszás következtetést (2-4.
sor), továbbá egy olyan behelyettesítést, ahol (3) úgy jön létre (1)-ből, hogy az általános F predikátumot behelyettesítjük a konkrét □(x=…)
predikátummal. Ez az eljárás különbözik attól, amit megszoktunk, hiszen
jobbára az individuumváltozókat (x,
y) szoktuk behelyettesíteni, de eljárásunk
mégsem önkényes, hiszen az F
predikátumot a Leibniz törvényben éppen azért használjuk, hogy tetszőleges
extenzionális predikátumot helyettesítsen. |