Az alábbiak a következő mű részletének (106. oldal) feldolgozását hivatottak segíteni: M. R. Sainsbury: Filozófiai logika. = A. C. Grayling (Szerk.): Filozófiai kalauz. Budapest, Akadémiai, 1997. 73-139.

Frissítve: 2006. 05. 23.

AZ AZONOSSÁG SZÜKSÉGSZERŰSÉGÉNEK FORMÁLIS BIZONYÍTÁSA

Kripke és mások úgy vélik, az azonosság szükségszerűsége formálisan is bizonyítható.

(1) Induljunk ki Leibniz törvényének egy megfogalmazásából!

"x"y{[(x=y) & Fx] É Fy}

Alkalmazzuk erre az áthelyezési törvényt! (p & q) É r Û p É (q É r)

"x"y{(x=y) É (Fx É Fy)}

Ám Leibniz törvényét felírhatjuk más formában is:

"x"y{[(x=y) & Fy] É Fx}

Erre is alkalmazhatjuk az áthelyezési törvényt:

"x"y{(x=y) É (Fy É Fx)}

Látható, hogy a levezetett tételekben a kvantorok hatókörében ugyanaz az előtag. Más szóval az x=y azonosságból két „dolog is következik” (Az x=y igazsága esetén két másik állításnak is igaznak kell lennie). Ezt így fejezhetjük ki:

"x"y{(x=y) É [(Fx É Fy) & (Fy É Fx)]}

A kondicionális utótagja átírható bikondicionálisra. (p É q) & (q É p) Û p º q

"x"y{(x=y) É (Fx º Fy)}

Ezzel megkaptuk a jegyzet (1) formuláját. (A kondicionálist és a bikondicionálist a jegyzetben más konstans jelöli.)

F itt tetszőleges tulajdonság lehet.

(2) Azt a törvényt, hogy minden dolog azonos önmagával, így fejezhetjük ki:

"x(x=x)

Nyilvánvaló, hogy nem kontingens igazság az, hogy egy dolog azonos önmagával, hanem szükségszerű (a logika egyik alaptörvénye). A képletet ezzel az információval is kiegészíthetjük. (A szükségszerűség jele: □)

"x □(x=x)

(3) Tekintsük □(x=…) -t egy egyargumentumú predikátumnak, és nevezzük el F-nek! Ekkor:

F(x) Û □(x=(x))

Az (1) levezetés eredményében helyettesítsük F helyére ezt a predikátumot!

"x"y{(x=y) É [□(x=x) º □(x=y)]}

Ez a formula igaz, mert a Leibniz törvényéből és az önazonosság igaz törvényéből vezettük le helyes logikai műveletekkel. Úgy is mondhatjuk, hogy azokból mint premisszákból adódó konklúzió.

(4) Vegyük észre, hogy a bikondicionális első tagja nem más, mint az önazonosság törvénye, ami igaz!

"x"y{(x=y) É [i º □(x=y)]}

Ezért az egész bikondicionális a második tagra egyszerűsíthető. Az eljárás bizonyítása értéktáblázattal:

i	p	iºp
i	i	i
i	h	h

"x"y{(x=y) É □(x=y)}

Kiolvasás: Bármely két dologra igaz, hogy ha azonosak egymással, akkor szükségszerűen azonosak. (Egy igaz azonosság szükségszerűen igaz.) QED

Ez a tétel konklúzióként adódik a (2)-ből és a (3)-ból mint premisszákból.

A jegyzet három számozott sorából és egy konklúzióból álló formális levezetése tehát tartalmaz egy kétpremisszás következtetést (2-4. sor), továbbá egy olyan behelyettesítést, ahol (3) úgy jön létre (1)-ből, hogy az általános F predikátumot behelyettesítjük a konkrét □(x=…) predikátummal. Ez az eljárás különbözik attól, amit megszoktunk, hiszen jobbára az individuumváltozókat (x, y) szoktuk behelyettesíteni, de eljárásunk mégsem önkényes, hiszen az F predikátumot a Leibniz törvényben éppen azért használjuk, hogy tetszőleges extenzionális predikátumot helyettesítsen.