Az alábbiak a következő mű részletének (122. oldal) feldolgozását hivatottak segíteni: M. R. Sainsbury: Filozófiai logika. = A. C. Grayling (Szerk.): Filozófiai kalauz. Budapest, Akadémiai, 1997. 73-139.

Frissítve: 2006. 05. 02.

Miért nem tartozik H a nyelvhez?

1. Tegyük fel, hogy H értelmes nyelvi kifejezés! Ha ez tényleg így van, akkor a nyelv hierarchiájának valamelyik szintjéhez, mondjuk, az L_n nyelvhez kell tartoznia.

2. Mivel az „igaz” predikátum mindig csak egy nálánál alacsonyabb szinten álló nyelvre alkalmazható, ezért ha a H-ban szereplő „igaz” predikátum alkalmazható az L_n nyelven megfogalmazott (H-ban szereplő) H-ra, akkor minimum az L_n+1 szinten kell állnia. Ekkor tehát H belső szerkezete így néz ki:

H nem igaz_n+1

3. Rátekintve a formulára azonnal láthatjuk, hogy itt egy L_n+1 nyelven megfogalmazott mondatról van szó, hiszen ha egy mondatban szerepel egy az L_n+1 nyelvhez tartozó kifejezés, akkor ez a mondat az L_n+1 nyelven mondata.

4. Ennek azonban éppen az ellenkezőjét tettük fel: azt mondtuk, hogy H az L_n mondata.

5. Feltevésünk (1.) ellentmondáshoz vezetett, tehát hamis volt, és az ellentéte az igaz. H tehát nem tartozik L_n-hez.

6. L_n azonban a nyelvek hierarchiájának nem egy meghatározott szintje volt, hanem egy tetszőleges. Akármelyik számot írnánk n helyére, ugyanezt az eredményt kapnánk. H tehát nem tartozhat egy a hierarchiák szabályait betartó nyelv egyik szintjéhez sem, így nem tartozhat az értelmes nyelvbe sem.

7. QED (Quod Erat Demonstrandum - Ezt kellett bizonyítani.)